Теория хаоса

Теория хаоса

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.

Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью – ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.

Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий . Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях. Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям – шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой. В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах.

Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем – будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий .

То же самое по-простому – малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия

Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса – эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.

Второй вывод теории хаоса – достоверность прогнозов со временем быстро падает .

Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка – с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Еще один пример хаотичности в природе – лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе – правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца ( Edward Lorenz ) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта ( Benoit B. Mandelbrot ).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что « …если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем ». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: « Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая ».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. to attract – притягивать) – геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.

Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.

Третий тип аттрактора – тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.

Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения – разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука – способностью устанавливать связи между причинами и следствиями – в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются

Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия , фрактал – это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала – самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

Рисунок 6. Фрактал «ковер Серпинского»

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) – повторное применение какой-либо математической операции.

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал – геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» ( The Fractal Geometry of Nature ). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.

Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5.

Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой. Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

Рисунок 8. Множество Мандельброта

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.

Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.

Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации .

Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум ( Feigenbaum ). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.

Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения.

Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2).

Результатом расчетов являются следующие выводы:

  • при С < 1 популяция с ростом n вымирает;

  • в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная ;

  • в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;

  • при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.

Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Рисунок 9. Переход к хаосу через бифуркации, начальная стадия уравнения Xn+1=CXn - С(Хn)2

численность популяции

Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).

Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).

Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.

С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.

На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

Бифуркация - по сути точка перелома. Где на рынке дисбаланс спроса и предложения меняет свой знак. Было спрос больше предложения (цена вверх), стало предложение больше спроса (цена вниз).

Сегодня вряд ли можно найти человека, занимающегося или интересующегося наукой, который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них живо представляешь себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они “как настоящие”. Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть.

Любопытную мысль приводит в своей книге “Фрактальная геометрия природы” американский математик Бенуа Мандельброт: “Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать”.

Действительно, традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами (линиями, плоскостями, многоугольниками, полиэдрами, сферами и т.д.) и их композициями, метрические и топологические размерности которых равны между собой. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Очень трудно представить себе структуру систем жизнеобеспечения биологической особи (кровообращение, ЦНС), тонкую структуру белков и т.д.

Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных явлений. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов, турбулентных процессов, определяющих погоду или границу раздела газовых сред? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения? Т.е. речь идет о задачах, для решения которых необходимо учитывать особенности топологии тонкой структуры объектов. Это именно такие задачи, о которых говорит Мандельброт.

Подходящими средствами для исследования поставленных вопросов представляются фракталы и математический хаос. Термин фрактал относится к некоторой статической геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды.

Наука о фракталах оформилась в отдельную область математики совсем недавно: в начале 70-х годов 20 века. История возникновения интереса к изучению фракталов может служить примером взаимопроникновения идей абстрактных и естественных наук. Началом этого процесса принято считать появление в 1977 году уже упоминавшейся книги Б. Мандельброта “Фрактальная геометрия природы” (Mandelbrot B.B. “The fractal geometry of nature”), где содержится огромное количество изображений различных фрактальных множеств и приведены доказательства существования фрактальных объектов в природе.

Справедливости ради, следует отметить, что первые фракталы появились в математике намного раньше, в конце 19 начале 20 века. К их числу относятся такие удивительные конструкции, как канторовское множество (Г. Кантор, 1883), или, например, заметающая целый квадрат, кривая Гильберта-Пеано (Д. Гильберт Дж. Пеано, 1890), множества Серпинского (В. Серпинский, 1916), ажурнейшие множества Жюлиа (Г. Жюлиа, 1918) и другие типичные фракталы (термин “фрактал” в то время еще не был введен). Эти конструкции были в свое время открыты математиками для того, чтобы показать, насколько наивными и хрупкими могут быть наши представления о столь знакомых, казалось, объектах, как функция и кривая. Эти сложные конструкции производили очень сильное впечатление, за что были прозваны математическими монстрами.

После выхода упомянутой книги началась настоящая “фрактальная лихорадка”. Многим удалось по-новому взглянуть на объекты своих исследований, и оказалось, что они долгие годы изучают фракталы. Одна за другой стали появляться научные работы, где сообщалось о нахождении фрактальных объектов. Исследовались поверхности разломов твердых образцов, процессы агрегации кластеров и адсорбции, форма облаков и облачных зон над поверхностью Земли, шероховатость минералов, динамика экономических процессов, рост биологических популяций, волны в океане. В геологии и картографии, в физике и биологии везде были обнаружены фракталы.

Сегодня исследование математических аспектов фрактальной теории, а также методов описания природных процессов и явлений с использованием идей теории фракталов новая самостоятельная область науки. Уже сейчас она столь широка, что намечается разделение ее на несколько более узких областей. Теория фракталов стала междисциплинарной. Интерес к исследованию процессов, обуславливающих фрактальную геометрию природы, привел к рождению новых научных направлений в физике (фрактальная физика), биологии, материаловедении и т.д. Такое объединение различных научных направлений на основе единого структурного подхода не случайно, а является следствием универсальных свойств фрактальных структур.

О РАЗМЕРНОСТЯХ
Обычное понятие размерности мы считаем интуитивно ясным и легко определяемым математически. Понятие размерности линейного пространства известно из элементарной геометрии и линейной алгебры. Размерность многообразия - это размерность евклидовых шаров (областей, окрестностей), из которых склеено многообразие и т.д. Однако в математике, механике, физике встречаются множества, для которых понятие размерности нуждается в специальном обсуждении и, более того, для них можно определить не одну, а несколько различных размерностей. Причем эти размерности могут между собой не совпадать. Интуитивно ясно, что речь идет о множествах, устроенных локально ‘‘существенно хуже’’, чем открытые области в евклидовом пространстве. Строго говоря, разные понятия размерности можно определить для произвольного топологического пространства. Но для ‘‘хороших’’ пространств, к которым относятся многообразия, все эти числа (размерности) совпадают. Однако, как только мы переходим к рассмотрению более сложных, экзотических (а иногда в некотором смысле ‘‘патологических’’) объектов, разные понятия размерности приводят нас, вообще говоря, к разным числам. Раньше считалось, что это происходит в основном для класса пространств, редко встречающихся на практике. Однако недавно выяснилось, что такие аномальные объекты встречаются сплошь и рядом в классических областях математики. Это суть фракталы.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ

Так что же такое фрактал? Парадоксально, но общепринятого точного определения этого понятия не существует. Сам термин ‘‘фрактал’’ происходит от латинского слова fractus (сломанный, разбитый), от которого происходят и термины fraction, fractional - дробь, дробный. С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество с дробной размерностью . Фрактал по первому определению Мандельброта - это множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность. По второму определению фрактал это геометрическая структура, части фрагменты которой в какой-то мере подобны cамой структуре. Можно также сказать, что математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации материи в природе. В основе этого понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные объекты самоподобны, т.е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их в микроскоп с любым увеличением.

Однако по любому из предложенных определений невозможно представить что такое фрактал. Это тот случай, когда рассмотрение понятия лучше начинать не с его определения, а с рассмотрения конкретных примеров. Позднее можно вернуться к определению.

Мы знаем, что линия имеет одно измерение, поверхность двумерна, а пространственная фигура трехмерна. Фрактал же - это не линия и не поверхность, а, если так можно выразиться, что-то среднее. Квадрат со стороной $l$\ 11x18 - фигура на двумерной плоскости, имеет площадь $l^2$\ 18x20, объем трехмерного куба с ребром $l$\ 11x18 равен $l^3$\ 18x20, а $n$\ 16x17-мерного гиперкуба - $l^n$\ 20x18. Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размеров возрастает ‘‘объем’’ фрактала, но его размерность - величина не целая, а дробная. Поэтому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и вся состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или масштабным самоподобием, скейлингом (от англ. scaling). Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Жидкость, газ, твердое тело - три привычных для нас состояния однородного вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность облака или клуба дыма, точнее их границ, размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Аналогичным образом можно подсчитать реальных объектов, вроде береговой линии или кроны дерева. Кровеносная система человека, например, имеет размерность порядка 2,7. Все объекты с нечеткой, неупорядоченной, хаотичной, изломанной структурой оказались фракталами или состоящими из фракталов.

Заметим, что связь между хаосом и фракталами далеко не случайна - она выражает их глубокую общность. Вопрос этот связан прежде всего с одной из интенсивно развивающихся в последние 40 лет областей науки - динамическим хаосом. Так уравнения, детерминированные системами с динамическим хаосом нередко приводят к хаотическим решениям, хаотическим в смысле крайней неустойчивости, при которой малейшая неточность при задании начальных данных настолько сильно влияет на динамику системы, что ее поведение становится фактически непредсказуемым. При этом оказалось, что фракталы, как геометрические понятия, могут быть успешно применены при описании траекторий хаотических систем. Более того, можно сказать, что фракталы - геометрические образы хаоса, а фрактальная геометрия - геометрия хаоса, беспорядка. Таким образом, ключевыми понятиями теории фракталов являются дробная размерность и масштабное самоподобие. Существуют их математически строгие определения.

В ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Природные объекты и явления, конечно, не являются фракталами в точном смысле слова. Однако для ассоциированных с ними фракталов можно осуществить точные расчеты, представляющие интерес для практики.

Можно было бы привести еще ряд примеров использования идей фрактальной геометрии для описания природных объектов, но, на мой взгляд важнее было продемонстрировать принципиальную возможность применения этих идей, что и было одной из целей работы. В работе я постарался указать как фракталы могут быть использованы и где в природных явлениях можно ожидать возникновение самоподобных фрактальных структур.

Одно из самых интересных свойств фракталов – их нелинейность. А нелинейность, как известно, зачастую приводит к необратимости. Косвенным подтверждением связи между фрактальной геометрией и необратимостью можно считать фрактальные свойства систем с динамическим хаосом.

Можно также отметить, что рассматриваемые в работе процессы возникают в разных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее – конкуренцию нескольких центров за доминирование. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой, от порядка к беспорядку и снова к порядку и т.п.

В 80-х годах 20 века известный бельгийский физико-химик, лауреат Нобелевской премии Илья Пригожин в соавторстве с Изабеллой Стенгерс написал книгу “Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой”. Книга обращает внимание на те стороны нашей реальности, которые обычно остаются вне поля зрения классической науки: неустойчивость и разупорядоченность, при которых самое незначительное отклонение в начальных условиях процесса приводит к радикальным изменениям в его течении. И часто бывает в принципе невозможно предсказать, как именно этот процесс пойдет. “Универсальные” же законы оказываются применимы лишь к ограниченным областям реальности. Фракталы наглядно демонстрируют как порядок соотносится с хаосом и возникает из него. И, кроме того, они просто красивы.

Кроме того, нужно обратить внимание и на существующие проблемы. К основным из них в настоящее время можно отнести поиск адекватного математического аппарата для описания самоподобных объектов и, что более важно, - разработку идеологии построения фрактальных моделей природных процессов. Скорее всего именно в этом направлении можно ожидать наиболее интересных достижений.

Стоит сказать, что попытки изучения механизмов образования и роста природных фракталов, а также процессов, в них происходящих, наталкиваются на определенные трудности. Наибольшие успехи в их преодолении связаны с использованием компьютеров. Полученные результаты впечатляют, и еще более захватывающими представляются перспективы развития этого направления. Именно развитие компьютерной техники определило прогресс в применении идей теории фракталов для описания природы.